SVD Kalkulator

Kategori: Lineær Algebra
- juni 11, 2025
| |

Beregn den singulære verdidekomposisjonen (SVD) av en matrise. SVD dekomponerer en matrise i tre komponenter: U, Σ, og V*. Denne dekomposisjonen har mange anvendelser innen statistikk, signalbehandling, bildekomprimering, og mer.

Matriseinngang

Visningsalternativer

Om singulær verdidekomposisjon

Singulær verdidekomposisjon (SVD) er en faktoriseringsteknikk som dekomponerer en matrise A i tre matriser: U, Σ, og V*. Den har brede anvendelser innen datavitenskap, signalbehandling, og lineær algebra.

Matematisk definisjon

For en m×n matrise A, er SVD:

A = UΣV*

hvor:

  • U er en m×m ortogonal matrise (U*U = I)
  • Σ er en m×n diagonal matrise med ikke-negative singulære verdier
  • V* er den konjugerte transponerte av en n×n ortogonal matrise V (V*V = I)
Anvendelser av SVD
  • Dimensjonsreduksjon: Hovedkomponentanalyse (PCA)
  • Bildekomprimering: Redusere lagring samtidig som bildekvaliteten opprettholdes
  • Dataanalyse: Støyreduksjon og funksjonsutvinning
  • Anbefalingssystemer: Samarbeidsfiltrering for anbefalinger
  • Pseudoinversberegning: Finne løsninger til dårlig betingede systemer
  • Signalbehandling: Filtrering og støyreduksjon
Egenskaper ved SVD
  • Singulære verdier er unike og ordnet i synkende rekkefølge
  • Antall ikke-null singulære verdier er lik rangeringen til matrisen
  • Tilstandsnummeret er forholdet mellom den største og den minste singulære verdien
  • SVD kan brukes til å beregne pseudoinversen via A⁺ = VΣ⁺U*
  • SVD er numerisk stabil for beregning

Formel for Singular Value Decomposition:

A = UΣV*

Hvor:

  • U = matrise av venstre singularvektorer
  • Σ = diagonal matrise av singularverdier
  • V* = transponert av matrisen av høyre singularvektorer

Hva er SVD-kalkulatoren?

Singular Value Decomposition (SVD) Kalkulatoren er et nettbasert verktøy som bryter ned enhver matrise i tre grunnleggende komponenter: U, Σ (Sigma) og V*. Denne prosessen brukes mye i lineær algebra for applikasjoner som datakomprimering, signalfiltrering og løsning av ligningssystemer.

Med SVD-kalkulatoren kan du raskt analysere strukturen til en matrise, forstå dens dimensjonale egenskaper og beregne viktige verdier som tilstandsnummer, rang og pseudoinvers.

Hvorfor bruke denne kalkulatoren?

<pDette verktøyet hjelper deg med å:

  • Dekomponere en matrise i U, Σ og V* for dypere analyse
  • Forstå oppførselen til matrisen din gjennom dens singularverdier
  • Utforske egenskaper som matriserang, tilstandsnummer og Frobenius-norm
  • Verifisere nøyaktigheten av dekomposisjonen
  • Beregne Moore-Penrose pseudoinvers umiddelbart

Hvis du jobber med bildedata, statistikk eller løser lineære systemer, gir denne kalkulatoren deg nedbrytningen du trenger. Den komplementerer andre verktøy som LU Decomposition Calculator, Pseudoinverse Calculator og Matrix Inverse Calculator ved å fokusere spesifikt på singularverdi-analyse.

Slik bruker du SVD-kalkulatoren

Følg disse enkle trinnene:

  1. Velg antall rader og kolonner for matrisen din.
  2. Klikk på “Opprett matrise” for å generere inndatafelt.
  3. Angi matriseverdiene dine i feltene.
  4. Velg visningsalternativer som desimalpresisjon og om du vil vise trinn-for-trinn forklaringer.
  5. Klikk på “Beregn SVD” for å prosessere matrisen.
  6. Gå gjennom de resulterende U, Σ og V* matrisene, samt avledede verdier som pseudoinvers og tilstandsnummer.

Du kan også laste inn en eksempelmatrise ved å bruke knappen “Last inn eksempel” for å se hvordan det fungerer umiddelbart.

Fordeler med å bruke SVD

SVD brukes på tvers av mange felt og har praktiske fordeler:

  • Datakomprimering: Reduser datastørrelsen uten å miste essensielle funksjoner
  • Støyreduksjon: Eliminere mindre komponenter i signaler eller datasett
  • Maskinlæring: Forbedre algoritmeprestasjonen gjennom dimensjonsreduksjon
  • Matrise-løsninger: Beregn pseudoinvers når en normal invers ikke eksisterer
  • Bildebehandling: Komprimer og rekonstruer bilder effektivt

Dette verktøyet er spesielt nyttig når det brukes sammen med matriseverktøy som QR Factorization Calculator, Gauss-Jordan Elimination Calculator og Diagonalize Matrix Calculator.

Ofte stilte spørsmål (FAQ)

  • Hvilken størrelse matrise kan jeg skrive inn?
    Du kan angi matriser fra 1×1 opp til 10×10.
  • Hva om matrisen min har veldig små verdier?
    Kalkulatoren fremhever nær-null verdier for å hjelpe deg med å fokusere på betydningsfulle resultater.
  • Kan jeg se hvordan SVD beregnes?
    Ja! Aktiver alternativet “Vis forklaring” for å se en trinn-for-trinn nedbrytning av dekomposisjonen.
  • Er dette verktøyet nyttig for læring?
    Definitivt. Den visuelle nedbrytningen og beregningsstegene gjør det til et flott læringsverktøy for studenter og lærere.
  • Hvordan er dette forskjellig fra andre matriseverktøy?
    Mens Matrix Inverse Calculator og LU matrisefaktorisering fokuserer på direkte løsninger til lineære systemer, gir SVD mer innsikt i strukturen og stabiliteten til matrisen.

Relaterte verktøy du kanskje finner nyttige