Simpsons regel kalkulator

Kategori: Kalkulus

- oktober 03, 2025

| |

Beregne bestemte integraler numerisk ved hjelp av Simpsons regel. Denne kalkulatoren tilnærmer integralet av en funksjon over et spesifisert intervall ved å tilpasse parabolbuer gjennom ekvidistante punkter.

Integrasjonsparametere

Funksjon å integrere:

Bruk x som variabel. Matematikkfunksjoner: sin, cos, tan, log, sqrt, osv.

Nedre grense (a):

Øvre grense (b):

Antall intervaller (n):

Må være et partall for Simpsons regel

Visualiseringsalternativer

Vis funksjonsplott

Vis tilnærmingsområder

Forstå Simpsons regel

Simpsons regel er en numerisk tilnærmingsmetode for bestemte integraler. Den tilnærmer funksjonen ved hjelp av kvadratiske polynomer, som gir bedre nøyaktighet enn enklere metoder som trapezmetoden.

Formelen

\begin{align} \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + \ldots + 2f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right] \end{align}

Hvor:

h = (b - a) / n er bredden på hvert delintervall
n er antall delintervaller (må være partall)
x_i = a + i·h er de jevnt fordelte punktene

Feilterm

Simpsons regel har en feilterm på O(h⁵), noe som betyr at feilen er proporsjonal med h⁴. Spesielt:

\text{Feil} \approx -\frac{b-a}{180}h^4 f^{(4)}(\xi)

Hvor f⁽⁴⁾(ξ) er den fjerde derivert av f ved et punkt ξ mellom a og b.

Sammenligning med andre metoder

Midtpunktregel: Feil er O(h³), mindre nøyaktig enn Simpsons regel
Trapezmetoden: Feil er O(h³), mindre nøyaktig enn Simpsons regel
Simpsons 3/8 regel: Lignende nøyaktighet som Simpsons regel
Gaussisk kvadratur: Mer nøyaktig for visse funksjonsklasser

Ansvarsfraskrivelse: Denne kalkulatoren gir numeriske tilnærminger som kan inneholde feil, spesielt for funksjoner med singulariteter eller raske oscillasjoner. Verifiser alltid viktige resultater med alternative metoder eller analytiske løsninger når det er mulig.

Hva er Simpson's regel kalkulator?

Simpson's regel kalkulator er et interaktivt verktøy som estimerer verdien av et bestemt integral. I stedet for å løse komplekse integraler for hånd, bruker denne kalkulatoren en pålitelig numerisk metode for å tilnærme arealet under en kurve, kjent som Simpson's regel. Den er spesielt nyttig for funksjoner som er vanskelige eller umulige å integrere analytisk.

\[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + \dots + 2f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right] \]

Denne metoden deler intervallet inn i et jevnt antall deler og tilpasser parabler gjennom punkter på grafen til funksjonen. Den gir bedre nøyaktighet enn trapezmetoden eller midtpunktmetoden.

Hvorfor bruke den?

Enten du er student, lærer, ingeniør eller nysgjerrig lærling, hjelper Simpson’s regel kalkulator deg med å:

Estimere bestemte integraler raskt
Visualisere hvordan arealet under kurven tilnærmes
Forstå virkningen av å endre antall intervaller
Utføre feilanalyse og se konvergensatferd

Den komplementerer også andre verktøy som Integral Kalkulator for å løse bestemte eller ubestemte integraler og Antiderivert Kalkulator for å finne antiderivater. Hvis du jobber med multivariable funksjoner, kan du sjekke ut Partiell Derivert kalkulator for å beregne partielle derivater eller analysere multivariable differensiering.

Slik bruker du kalkulatoren

Følg disse enkle trinnene for å få en nøyaktig tilnærming av ditt bestemte integral:

Angi funksjonen du vil integrere i inndatafeltet (bruk x som variabel).
Sett nedre og øvre grenser for integrasjonsintervallet.
Velg antall intervaller (må være et jevnt tall).
Valgfritt, aktiver funksjonsplotting og tilnærmingsvisualiseringer.
Klikk "Beregn integral" for å se resultatet, plottet og oppdelingen.

Du kan tilbakestille kalkulatoren når som helst ved å bruke "Tilbakestill"-knappen.

Vanlige bruksområder

Bruk Simpson’s regel kalkulator for å:

Tilnærme arealet under kurver når det eksakte integralet er vanskelig å beregne
Sammenligne numeriske resultater med eksakte løsninger fra en integral løser
Analysere konvergens ved å øke intervallene
Få innsikt i feiatferd på tvers av forskjellige intervallantall

Den er spesielt nyttig for å sjekke arbeid eller supplere resultater fra verktøy som Andre Derivert kalkulator eller Retningsderivert kalkulator i multivariable analyser.

Ofte stilte spørsmål

Q: Hvilke typer funksjoner kan jeg skrive inn?
Enhver funksjon som bruker x som variabel. Vanlige uttrykk inkluderer polynomer, trigonometriske funksjoner, eksponentialfunksjoner og logaritmer. For eksempel: x^2 + sin(x).

Q: Hvorfor må antallet intervaller være jevnt?
Simpson’s regel er avhengig av å tilpasse parabler over par av intervaller. Et oddetall av intervaller ville bryte denne paringen.

Q: Hvor nøyaktig er denne metoden?
Simpson's regel er svært nøyaktig for glatte funksjoner og forbedres med flere intervaller. Kalkulatoren viser også feilmeldinger og konvergensinformasjon.

Q: Hva om funksjonen min er udefinert på et punkt?
Unngå funksjoner med singulariteter eller diskontinuiteter innen intervallet. Disse kan forårsake unøyaktige resultater eller evalueringsfeil.

Avsluttende tanker

Denne kalkulatoren er en nyttig følgesvenn for å studere kalkulus og løse virkelige problemer som involverer integrasjon. Den er en del av en bredere samling av matematiske verktøy som Derivert kalkulator, Invers Derivert Kalkulator og Grense kalkulator som forenkler læring og anvendelse av avanserte matematiske konsepter.