Invers Laplace-transformasjonskalkulator

Kategori: Kalkulus

- september 22, 2025

| |

Denne kalkulatoren finner den inverse Laplace-transformasjonen av en funksjon F(s). Den konverterer funksjoner fra s-domenet tilbake til tidsdomenet, noe som er nyttig for å løse differensialligninger og analysere kontrollsystemer.

Funksjonsinngang

F(s):

Tidsvariabel:

Beregningsmetode:

Visningsalternativer

Vis beregningssteg

Bruk LaTeX-notasjon

Bruk enhetssteg (Heaviside) notasjon

Forenkle resultater

Resultater av Invers Laplace Transformasjon

Invers Transformasjon

f(t) = 0

f(t) = L^-1{F(s)}

Gyldighetsområde

t ≥ 0

Hvor transformasjonen er definert

Trinn-for-trinn Løsning

Definisjon av Invers Laplace Transformasjon

For en funksjon F(s) er den inverse Laplace-transformasjonen definert som:

f(t) = L^-1{F(s)} = (1/2πi) ∫_γ-i∞^γ+i∞ F(s)e^st ds

hvor γ er valgt slik at alle singulariteter av F(s) ligger til venstre for linjen Re(s) = γ i det komplekse planet.

Vanlige Inverse Laplace Transformasjoner

F(s)	f(t) = L^-1{F(s)}	Betingelser
1/s	1	t > 0
1/sⁿ	t^n-1/(n-1)!	t > 0, n > 0
1/(s-a)	e^at	t > 0
s/(s²+a²)	cos(at)	t > 0
a/(s²+a²)	sin(at)	t > 0
1/(s²+a²)	(1/a)sin(at)	t > 0
1/(s²-a²)	(1/a)sinh(at)	t > 0

Om den Inverse Laplace Transformasjonen

Den inverse Laplace-transformasjonen konverterer en funksjon fra s-domenet (frekvensdomenet) tilbake til tidsdomenet. Det er et kraftig verktøy for å løse differensialligninger, analysere kontrollsystemer og signalbehandling.

Nøkkelegenskaper

Linearitet: L^-1{aF(s) + bG(s)} = aL^-1{F(s)} + bL^-1{G(s)}
Tidsforskyvning: L^-1{e^-asF(s)} = f(t-a)u(t-a), hvor u er enhetsstegfunksjonen
s-Forskyvning: L^-1{F(s-a)} = e^atf(t)
Skalering: L^-1{F(as)} = (1/a)f(t/a)
Differensiering: L^-1{sF(s) - f(0)} = f'(t)
Integrering: L^-1{F(s)/s} = ∫₀^t f(τ) dτ

Metoder for å Finne Inverse Transformasjoner

Partiell Brøkdekomponering: Dekomponer komplekse rasjonale funksjoner til enklere termer med kjente inverse transformasjoner.
Tabelloppslag: Sammenlign med standardformer i en tabell over kjente transformasjoner.
Egenskaper og Teoremer: Bruk egenskaper som linearitet, tidsforskyvninger eller konvolusjon.
Kompleks Integrering: Bruk Bromwich-integralet for teoretiske utledninger.

Applikasjoner

Differensialligninger: Konvertere løsninger fra s-domenet tilbake til tidsdomenet.
Kontrollsystemer: Analysere systemrespons på innganger.
Kretsanalyse: Finne tidsdomenes respons av elektriske kretser.
Signalbehandling: Konvertere overføringsfunksjoner til impulsresponser.

Omvendt Laplace-transformasjonskalkulator

Omvendt Laplace-transformasjonskalkulator er et intuitivt verktøy som hjelper deg med å beregne tidsdomenets ekvivalent av Laplace-domenefunksjoner. Det er ideelt for studenter, ingeniører og alle som jobber med dynamiske systemer innen fysikk eller ingeniørfag.

Hva er den omvendte Laplace-transformasjonen?

Den omvendte Laplace-transformasjonen konverterer en funksjon i Laplace-domenet ( F(s) ) til dens tilsvarende tidsdomenefunksjon ( f(t) ). Dette er spesielt nyttig for å løse differensialligninger, analysere kontrollsystemer og forstå signaltransformasjoner.

For eksempel: - Gitt ( F(s) = \frac{1}{s} ), er den omvendte Laplace-transformasjonen ( f(t) = 1 ). - For ( F(s) = \frac{1}{s^2 + 1} ), er den omvendte Laplace-transformasjonen ( f(t) = \sin(t) ).

Nøkkelfunksjoner i kalkulatoren

Interaktiv rullegardinmeny:
Velg vanlige Laplace-funksjoner, som ( \frac{1}{s} ) eller ( \frac{s}{s^2 + 1} ), for raske beregninger.
Fleksibel inndata:
Skriv inn hvilken som helst Laplace-domenefunksjon, som ( \frac{5}{s^2 + 2s + 10} ).
Trinnvise resultater:
Viser den omvendte Laplace-transformasjonen i LaTeX-format for enkel tolkning.
Feilhåndtering:
Gir nyttige tilbakemeldinger for ugyldige eller ikke-støttede inndata.
Tydelige alternativer:
Tilbakestill inndatafeltene med ett enkelt klikk.

Hvordan bruke kalkulatoren

Trinn-for-trinn-guide:

Velg et eksempel (valgfritt):
Bruk rullegardinmenyen for å velge forhåndsdefinerte eksempler som ( \frac{1}{s} ) eller ( \frac{5}{s^2 + 2s + 10} ).
Klikk på "Last inn eksempel" for å fylle ut inndatafeltet.
Skriv inn en funksjon:
Skriv inn en Laplace-domenefunksjon i inndatafeltet, som ( 1/(s^2 + 1) ).
Beregn:
Klikk på "Beregn" for å finne den omvendte Laplace-transformasjonen.
Se resultatene:
Kalkulatoren viser tidsdomenets ekvivalent ved hjelp av tydelig matematisk formatering.
Tøm inndataene:
Klikk på "Tøm" for å tilbakestille feltene og starte en ny beregning.

Eksempelberegninger

Eksempel 1: Grunnleggende eksponentiell

Inndata: ( \frac{1}{s} )
Utdata: ( f(t) = 1 )

Eksempel 2: Cosinusfunksjon

Inndata: ( \frac{s}{s^2 + 1} )
Utdata: ( f(t) = \cos(t) )

Eksempel 3: Kvadratisk eksempel

Inndata: ( \frac{5}{s^2 + 2s + 10} )
Prosess:
Fullfør kvadratet: ( s^2 + 2s + 10 = (s+1)^2 + 9 ).
Resultat: ( f(t) = 5e^{-t}\frac{\sin(3t)}{3} ).

Ofte stilte spørsmål (FAQ)

1. Hva er Laplace-domenet?

Laplace-domenet er en representasjon av en funksjon i form av den komplekse variabelen ( s ). Det brukes ofte til å løse differensialligninger ved å forenkle dem til algebraiske ligninger.

2. Hvilke typer funksjoner kan denne kalkulatoren håndtere?

Kalkulatoren støtter et bredt spekter av funksjoner, inkludert: - Rasjonale funksjoner som ( \frac{1}{s} ) eller ( \frac{s}{s^2 + 1} ). - Kvadratiske nevnere, som ( \frac{5}{s^2 + 2s + 10} ).

3. Hva hvis inndataene mine ikke støttes?

Hvis kalkulatoren ikke kan behandle inndataene dine, vil den vise en feilmelding. Sørg for at funksjonen følger standard Laplace-transformasjonskonvensjoner.

4. Kan jeg bruke dette til utdanningsformål?

Ja! Kalkulatoren er perfekt for studenter som lærer om Laplace- og omvendte Laplace-transformasjoner.

5. Hvordan håndterer kalkulatoren feil?

Den gir tydelige tilbakemeldinger, som “Vennligst oppgi en Laplace-domenefunksjon” eller “Funksjonen som er skrevet inn støttes ikke for automatisk omvendt Laplace-transformasjon.”

Hvorfor bruke den omvendte Laplace-transformasjonskalkulatoren?

Tidsbesparende: Automatiserer den komplekse prosessen med å finne omvendte Laplace-transformasjoner.
Pedagogisk: Flott for å lære og visualisere tidsdomenets resultater.
Nøyaktig: Reduserer feil ved manuelle beregninger.

Enten du løser ligninger eller analyserer systemer, forenkler denne kalkulatoren prosessen og forbedrer forståelsen din av Laplace-transformasjoner. Prøv den i dag!